在做悬架垂向运动控制或动态力学计算时，双质量振动系统微分方程是所有工作的基础，常见如下形式：（注意

  其描述的是在路面激励的作用下，悬架系统垂向动态特性。以此为出发点，可以分析推导路面激励到车身响应各种参数的传递关系，可以用仿真软件建立系统模型进行各种复杂的仿真和调参优化，甚至可进一步进行主动/半主动悬架控制管理系统的开发。

  然而，这毕竟是一个数学方程模型，用来描述复杂的悬架系统垂向运动，必然要做出很多简化和假设。那么究竟哪一些原因被忽略了，凭什么忽略，哪一些原因是推导过程中被确实消掉的（比如本人才疏学浅，之前一直不能理解，垂向运动中，怎么没见到重力，这也能随便忽略？）？为了弄明白这样一些问题，参考了一些外文书籍，本文将针对悬架系统的双质量振动系统微分方程究竟是如何得到的进行分享。当然，仅应用层面似乎不有必要了解这些，权当是茶余饭后花半小时了解了解一些背后的“故事”。

  我们知道对于悬架双质量振动系统垂直方向的受力，如果完全按照牛顿力学写平衡方程，应该是一个车身和车轮垂向运动加速度与以下各个力的平衡关系：

  这是悬架二自由度振动系统的最原始的形态，Z_r (t)是垂向的路面激励，甚至考虑了加速、制动、转向等操作对簧上质量的扰动F_b。Z_b (t)、Z_t (t)、Z_r (t)是整车坐标系下的簧上质心、车轮轮心、轮胎接地点在时刻t的垂向坐标值（注意区别一开始提到的z_b、z_t、z_r为垂向位移变化）。需要强调，此时的各种力值F_{ks}、F_{cs}、F_{kt}、F_{ct}都是动态非线性的变量。

  指车辆加速、制动、转向等操作导致的车身垂向动力学状态变化。而悬架的二自由度振动系统主要用来分析路面垂向激励的响应，即路面不平度的过滤效果，车辆操控导致的簧上扰动作为输入，对于该系统要解决的问题没有一点意义，且这种动力学分析也不是二自由度双质量振动系统可处理的，因此我们只考虑整车匀速直线行驶工况即可，忽略车辆的操作，即：

  除非极端恶劣工况或胎压异常，一般的情况下轮胎的垂向刚度特点呈现高度的线性特征，即刚度定常k_t，弹性力可表达为：

  相对于轮胎刚度，无论是实测还是从轮胎设计的角度看，轮胎垂向阻尼对悬架动力学状态的影响都是微乎其微的，轮胎阻尼特性主要体现在纵向和横向力的控制和响应上。因此对于悬架的垂向动力学分析和控制，也有理由忽略轮胎的阻尼特性，即：

  这里需要强调使用二自由度双质量振动系统来进行分析和控制的目标：常规路况下，车身对路面不平度输入的响应、悬架系统对这种响应的控制。从弹簧特性曲线（下图）可知，悬架运动要进入到弹簧的非线性区间，需要较大的车轮行程，一方面常规路况（如ISO_8608 / GB T 7031规定的A/B/C级路面）不可能会出现这种大行程，另一方面悬架限位也不允许弹簧进入临近压并的非线性区域。因此，即便是在允许的行程范围内具备一定非线性特性的弹簧，在常规路面扰动下（考虑杠杆比，实际弹簧变形量比路面垂向输入还要小），也可当作线性弹簧处理。另外，在半主动悬架控制中，弹簧作为储能元件相对于作为散能元件的减振器，其有限的非线性特性影响更是微不足道且更加容易处理[1]。因此，悬架弹簧弹性力可用定常刚度表达为：（k_s为弹簧刚度，L为弹簧自由长度）

  减振器阻尼力是一个与车轮相对于车身运动速度（引入悬架杠杆比即减振器行程速度）相关的变量，即F_{cs}=f(v_{shock})，常见的F-v曲线形式：

  可以看到正常减振器的力-速度关系在中低速趋于呈现很明显的非线性关系，这是由减振器内部阀系结构特性所决定，非线性的程度在阀系设计上确实能调整，但也只能做出线性的趋势，但通常不会这么做。实际调校中，需要利用这种非线性特征，一方面压缩行程和拉伸行程会调成非对称不同的阻尼系数，另一方面开阀点（blow-off）的对整车操控/舒适性表现至关重要，除非非常强调运动的车型，减振器阻尼的非线性特征不可避免。因此，在悬架的二自由度振动系统的简化过程中，如采用线性的减振器阻尼，其实是做了较大程度的简化：

  然而，对于基本的频响特性分析和半主动悬架控制管理系统的初步开发工作，这种简化后的表达也已足够。但当有必要进行准确的仿真和实验分析，以及半主动悬架控制管理系统设计时，非线性特性就必须予以考虑并做处理了。比如半主动悬架中可通过对输出电流的控制得到“人为”的线性阻尼系数，或者跳过阻尼系数，借助实测得到的速度-阻尼力(-电流)关系进行插值获取Lookup Table，可直接得到参数之间一一对应的关系（这是目前很常见的解决方案）。

  以上，对悬架系统垂向运动控制的一些重要参数进行了简化，重写原始的运动微分方程为如下形式：

  1）路面造成的悬架垂向位移不可过大，且是相对于设计零点的上下运动，不进入弹簧或减振器的极限位置，这是为了最大限度满足前面提到的弹簧减振器线）假设车辆匀速直线行驶过程中，轮胎从始至终保持接地；

  ▶ 引入被动悬架的静态力学现在，得到的运动方程跟我们常见到的最终形态仍然有很大差距，如簧上质量和簧下质量这两个常量。因此，要进一步处理，引入悬架的静态平衡方程。所谓静态，意味着所有与时间相关的变量都成为恒定值，即簧上质量、簧下质量、路面的垂向静态坐标值：

  ，Z_r (t)=z_{r_0}，它们的一阶导数、二阶导数都为0。代入前面得到的悬架动态方程中：>

  、z_t (t)、z_r (t)。为了阅读方便，略掉(t)的表达方式，即为最终的运动微分方程中出现的变量：z_b、z_t、z_r，并有如下关系：>

  所谓积木法，就是使用SIMULINK中一个个独立的数学运算模块，照着微分方程一步一步添加模块、定义参数等等（如下图）。这种建模方法个人觉得最为直接，虽然看起来连接关系复杂，但与微分方程中的变量一一对应，易于理解，且灵活性极高，也很方便对每个数据线上的参数进行直接观察和处理。

  Cx+Du代表着我们想要的输出，假如只关注车身加速度，那么就只定义矩阵C：>

  F_{z ̈_b} (s)为路面垂向位移到簧上质量垂向加速度的传递函数。

  ，轮胎变形量传递函数F_{z_t-z_r} (s)，它们能代表轮胎抓地、悬架挠度等操控性指标。>

  本文主要参考了Sergio M. Savaresi所著的Semi-Active Suspension Control Design of Vehicles[2]一书中关于悬架模型一章的内容。个人觉得对理解悬架的垂向动力学模型很有帮助，且书中归纳的几个传递函数可作为很方便的工具便于后续查找使用，因此对书中这一部分做了详细地理解阅读，分享出来与君共勉。

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